Tập liên thông đường vì giữa hai bất kỳ đều có thể kẻ được đường dẫn nằm trọn trong tập đó nối hai điểm
Khái quát
Không gian topo X được gọi là liên thông đường nếu với mọi điểm x, y trong X có đường đi trong X từ x tới y. Tập con A của không gian topo X là liên thông đường trong X nếu A là liên thông đường trong không gian topo con, hay còn nói rằng A thừa kế từ X.Không gian X gọi là liên thông đường nếu với 2 điểm x, y bất kì nếu tồn tại một ánh xạ liên tục f: [0,1]->X sao cho f(0)=x và f(1)=y. (Nói nôm na là giữa 2 điểm bất kì đều có 1 đường đi nối chúng)Ví dụ:
Các tập lồi là các không gian liên thông đường.
( R n , E u c l i d ) {\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},Euclid)} liên thông đường.
Định lý: Tích của các không gian liên thông đường là liên thông đường.
Định lý: Nếu X là không gian liên thông đường, thì nó là liên thông.
Định lý: Giả sử f : X → Y {\displaystyle f:X\rightarrow Y} là ánh xạ liên tục và X là liên thông đường. Thì f ( X ) {\displaystyle f(X)} là không gian con liên thông đường của Y.
Thành phần liên thông đường
Lớp tương đương dưới quan hệ tương đương ∼ p {\displaystyle \sim _{p}} được gọi là thành phần liên thông đương của X. Trong đó quan hệ tương đương ∼ p {\displaystyle \sim _{p}} trên không gian topo X được định nghĩa bởi x ∼ p y {\displaystyle x\sim _{p}y} nếu tồn tại một đường đi trong X từ x đến y.
Định lý: X là không gian topo, mỗi thành phần liên thông đường của X là liên thông đường.
Định lý: X là không gian topo, mỗi tập con liên thông đường của X là tập con của những thành phần liên thông đường của X.
Định lý: Nếu { A α } {\displaystyle \{A_{\alpha }\}} là họ tập con khác rỗng liên thông đường của không gian topo X {\displaystyle X} sao cho ⋂ A α {\displaystyle \bigcap A_{\alpha }} là khác rỗng, thì ⋃ A α {\displaystyle \bigcup A_{\alpha }} cũng liên thông đường.
Định lý: f : X → Y {\displaystyle f:X\rightarrow Y} là đồng phôi và C là thành phần liên thông đường của X, thì f ( C ) {\displaystyle f(C)} là thành phần liên thông đường của Y.
Quan hệ giữa liên thông và liên thông đường
Hình mô tả không gian SMột tập liên thông đường thì liên thông, ngược lại không đúng.Ví Dụ:
Xét S không gian con của R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} (hay còn gọi là Topologist's sine curve): S = ( { 0 } × [ − 1 , 1 ] ) ⋃ { ( x , y ) ∣ y = sin ( 1 x ) , x > 0 } {\displaystyle S=\left(\{0\}\times \left[-1,1\right]\right)\bigcup \{\left(x,y\right)\mid y=\ \sin \left({\frac {1}{x}}\right),x>\ 0\}} .
